\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
\section{圆周运动的分析力学}
我们演示一个圆周运动的经典案例。
这是分析力学的常见例题，几乎每一本分析力学教材都会涉及，
因为他\textsl{不算太容易的同时也不算太难，还非常实用}，颇具学术价值。

\subsection{Lagrange 力学}
假设一个处于有心势中的粒子，它的坐标是$(x,y)$，速度是$(v_x, v_y)$（其中$v_x = \dv{x}{t}$等），势能是$V=V(\sqrt{x^2+y^2})$。
首先，我们选取粒子的坐标和速度直接充当广义坐标和广义速度，写下它的$L$：
\begin{equation}
	L = T - V = 1/2 m (v_x^2 + v_y^2) - V(\sqrt{x^2+y^2})
\end{equation}
这是直角坐标下圆周运动粒子的Lagrange量。
我们还可以切换至极坐标系思考，即选取它的半径和角度作为广义坐标 $(r, \theta)$。
根据极坐标变换规则，$x = r \cos \theta, y = r \sin \theta \quad (r > 0)$，
相应的速度为$ v_x = \dv{x}{t} = \dv{r}{t} \cos \theta - r \sin \theta \dv{\theta}{t}$等。
一番三角运算后，极坐标下的$L$是：
\begin{equation}\label{eq_lagrange}
	L = 1/2 m ({r'}^2 + (r \theta')^2) - V(r)
\end{equation}
其中$r'=\dv{r}{t}, \theta' = \dv{\theta}{t}$等。
这是极坐标下圆周运动粒子的Lagrange量。
可见，极坐标系下，周向运动和径向运动被分离开来。


\subsection{Hamilton 力学}
根据广义动量的定义，我们导出
\begin{equation}
	p_r = \pdv{L}{r'} = m r' 
	\qquad
	p_\theta = \pdv{L}{\theta'} = m r^2 \theta' 
\end{equation}
随后，根据Hamiltonian $H$的定义，我们导出$H$：
	\begin{equation}
	H = p_r r' + p_\theta \theta' - L = 
	p_r r' + p_\theta \theta' - 1/2 m ({r'}^2 + (r \theta')^2) + V(r)
\end{equation}
但这还不够好：我们知道$H$应该是仅关于广义动量和广义坐标的，而该式是一个关于广义动量、广义坐标和广义速度的缝合怪。
这里需要进行一步代换：将所有广义速度用广义坐标和/或广义动量表述。
例如，$1/2 m r'^2 = 1/2 (mr')^2 / m = p_r^2 / (2m)$。
最终，我们得到：
\begin{equation}
	H = \frac{p_r^2}{2m} + \frac{p_\theta^2}{2mr^2} + V(r)
\end{equation}
这是极坐标下圆周运动粒子的Hamiltonian$H$。
可见，我们得到了极坐标下周向和径向的动量，以及其对应的能量--这在经典力学中是不容易说明由来的物理量。
为了得到粒子的动力学规律，我们只需引入Hamilton方程:
\begin{equation}
	\begin{aligned}
		\dv{r}{t} &= \frac{p_r}{m}, && \qquad \dv{p_r}{t} = -(-\frac{p_\theta^2}{m r^3} + \pdv{V}{r}) \\
		\dv{\theta}{t} &= \frac{p_\theta}{m r^2}, && \qquad \dv{p_\theta}{t} = 0 \\
	\end{aligned}
\end{equation}
在Hamilton力学的框架下，我们一眼看出角动量守恒，而经典力学远不如此显然。

为了说明分析力学和经典力学的一致性，我们假设粒子处于重力场中并绕一个平衡轨道做圆周运动。
平衡轨道上，$r$应保持不变：
\begin{equation}
	\dv{r}{t} = 0
	\Rightarrow 
	p_r \text{恒为$0$} 
	\Rightarrow 
	\dv{p_r}{t} = - \pdv{H}{r} = 0
	\Rightarrow
	-(-\frac{p_\theta^2}{m r^3} + \pdv{V}{r}) = 0
	\qquad \text{平衡轨道}
\end{equation}
而重力势能$V$及其导数具有如下形式：
\begin{equation}
	V = - \frac{GMm}{r}
	\qquad 
	\pdv{V}{r} = \frac{GMm}{r^2}
\end{equation}
因此平衡位置附近的角动量是
\begin{equation}
	p_\theta^2 =  mr^3 \pdv{V}{r} = GMm^2 r 
\end{equation}
根据轨道角动量$p_\theta = m r^2 \theta' $的定义，这意味着
\begin{equation}
	(\theta')^2 = \frac{GM}{r^3}
\end{equation}
和经典力学的结果一致。
我们发现，在分析力学中，系统动力学规律由一组“标准”的Euler-Lagrange方程或Hamilton方程描述，
而不再是经典力学中的“千题千面”，这无疑大幅简化了具体的求解过程。
\textsl{然而，分析力学的困难在于构造合适的Hamiltonian $H$，难度守恒定律，哈哈。}

\end{document}
